你最喜欢的号码是什么？

在这篇文章的结尾，我将揭示我最喜欢的数字，但首先我将告诉你我对世界上最重要的数学常数的看法。

我们将逐一通过逐一了解它们，看看是什么让它们如此特别和具有历史意义。在我们继续前进的过程中，我们还将讨论这些数字的一些应用。

不过，在我们开始之前，我们需要就数学常数的确切含义达成一致。

我对数学常数的定义只是一个没有单位的数字。就是这样——一个数字。我们可以称这些无量纲数字，但这表明它们来自一些物理量，而它们不是。

这个定义排除了著名的常数，如普朗克常数和光速。这些将出现在一篇关于最重要的物理常数的文章中！

我也没有包括0和1（实际上我把它们包含在早期草案版本的文章中），尽管它们绝对是数学常数，而且它们绝对是一些最重要的常数。但我们非常了解和理解他们，以至于我把他们排除在党之外。我猜是一个行政决定。

这个列表中的数字并不是唯一的重要数字。远非此。如果你有自己最喜欢的常数，请随时把它放在评论中——我会读的！它们也没有以任何特定方式订购。

因此，不用多说，让我们从数学巨星开始......

圆常数：π

π被称为圆常数，因为它是任何圆的圆周与其直径的比率，大约是3.14159。它广泛用于几何、三角学和微积分，但出现在许多其他数学学科中，如概率、统计学和数论。

几千年来，π一直俘获了数学家、科学家和哲学家的思想和心灵，其历史始于公元前1900年至1600年之间的古巴比伦。

巴比伦人的初始近似值为3.125，这是当时的合理估计。后来，古埃及人在公元前1650年左右计算了他们自己的圆周率近似值。利用他们的几何知识，他们得出了3.16的值，这被记录在莱茵德数学纸莎草纸中。

这个数字的魅力和有用性仍在继续，并被转移到希腊。

在古希腊，伟大的数学家阿基米德在公元前250年左右接受了挑战。他是第一个开发出近似π的严格方法的人。阿基米德巧妙地使用刻在圆圈内和限定的多边形在两个边界之间挤压π，计算出3.1408 < π < 3.1429。在理解π方面取得了巨大的飞跃，阿基米德的方法为未来的数学家奠定了基础。事实上，这种多边形算法主导了1000多年，因此，π有时被称为“阿基米德常数”。

随着时间的推移，对π的追求仍在继续。中国数学家祖崇志在5世纪改进了阿基米德的方法，将π计算为令人印象深刻的七个小数位，3.1415926 < π < 3.1415927。在近一千年的数学汗水和泪水中，这一成就仍然是无与伦比的。

在欧洲文艺复兴时期，十进制系统的发明和微积分的发现在计算常数方面取得了突破。在17世纪，艾萨克·牛顿用他新开发的微积分领域计算π到小数点后15位！

在20世纪，数学家现在配备了强大的机器来帮助他们寻找难以捉摸的数字。John Wrench和Levi Smith在1949年使用一个简单的计算器将圆周率计算到小数点后1120位。后来，现代计算机的发明允许数学家将π计算到数百万甚至数十亿个小数位。

我们知道π不仅是非理性的，也是被称为超验的东西，这使得它更加特别。

今天，寻找更多的π数字仍在继续，因为它永无止境的、不重复的十进制扩展仍然吸引着数学家和爱好者。

第一个有理数：√2

这个数字定义为求解方程x² = 2的唯一正实数很重要，因为它是第一个被证明为非理数。√2大约等于1.41421。

这个故事始于古希腊，大约在公元前6世纪，与数学家Pythagoras和他的追随者Pythagoresans一起。他们认为，宇宙可以通过整数及其比率来解释，这个想法主导了他们对数学、音乐和天文学的理解。

然后，毕达哥拉斯数学家之一，Metapontum的Hippasus，做出了一个惊人的发现。在研究平方数的性质时，他意识到长度为1的正方形的对角线不能表示为整数的比率。

这意味着√2，即该对角线的长度，不是有理数。这一启示威胁到毕达哥拉斯世界观的基础，并通过数学界发出了冲击波。根据一些消息来源，Hippasus因他的不方便的发现而淹死。

希帕苏斯的发现标志着数学史上的一个转折点。意识到一些数字不能用简单的整数比率来表示，这为新世界打开了大门。在接下来的几个世纪里，数学家们继续探索√2的性质以及其他无理数。

自那以后，√2已成为数学各个分支的基本要素，包括几何、数论和代数。

微积分之星：e

e是自然对数的基础，大约2.71828。它在微积分中很重要，并在数学的许多领域都有应用，包括数论和复数分析。

有时我们称它为欧拉数，以纪念伟大的数学家，他向我们展示了它到底有多重要。

e的故事实际上从复利这样令人兴奋的事情开始。直到后来，奇妙的发现和深刻的见解才塑造了我们对微积分、数论和大量其他数学学科的理解。

不幸的是，我们这里只有空间来快速概述这个令人惊叹的故事。

17世纪初，著名数学家雅各布·伯努利正在研究复利的性质。他问自己：

“如果你以100%的年利率投资，更频繁地复利，会发生什么？”

他发现，随着复利期数量的增加，资金总额接近极限。这是一个有趣的数字，大约2.718，成为常数e的第一次瞥见。

随着时间的推移，e的神秘属性开始在其他数学分支中显现出来。18世纪初，伟大的数学家莱昂哈德·欧拉进一步探索了常数。

欧拉，一位多产的数学家，为数学的许多领域做出了贡献，他推导出了指数函数e^x的公式。特别是，他找到了e的公式。他发现的总和公式是

像往常一样在哪里n！= n(n-1)(n-2)⋅⋅⋅3⋅2⋅1对于n ≥ 1和0！= 1。

欧拉的工作导致发现e^x具有自身导数的非凡特性，这使得它在求解构成当今理论物理和工程基石的微分方程方面很重要。

作为微分算子恒等式的标题确保了e^x和因此常数e在数学、物理、生物学和科学的许多其他部分中无处不在。

然而，e的故事并没有到此结束。数学家发现，它也与迷人的复数世界有着深刻的联系。欧拉的开创性公式，

表明e^x与三角余弦和正弦中最重要的函数相关联，因此e与五个最重要的数学常数相关联：e、i、π、1和0，在方程中：

这几乎是艺术。仅欧拉的身份就能使e成为超级巨星，但随后你也会从分析中得到所有重要结果，巩固其作为世界上最重要的数字之一的地位。

黄金比例：φ

这个数字也被称为黄金比例，大约等于1.61803。与π、e和γ不同，我们实际上有一个常数√5的闭合公式，即

我们的旅程再次从古希腊开始，在那里，Pythagoras和他的追随者研究了几何形状和比例的性质。他们发现，某些比例似乎体现了一种独特的美学美，他们认为这些比例是理解宇宙的关键。

黄金比例的首次记录出现在公元前300年左右伟大的数学家欧几里得的作品中。欧几里得在他名为“元素”的大量书籍集中定义了黄金比例，根据欧几里得，第一个有记录的定义如下：

“据说一条直线被切割成极端和平均比，因为整条线与大段一样，大与小的部分也是如此”

~欧几里德

就现代代数而言，我们会写φ = x/a，其中x和满足(x+a)/x = x/a（我们假设a ≠ 0），这相当于欧几里得的定义，其中“全线”是x + a，较大的段是x，较小的段是a。

上述方程x的解是x = a (1 + √5)/2，当然φ = x/a = (1 + √5)/2。

当意大利数学家莱昂纳多·斐波纳奇（Leonardo Fibonacci）在13世纪初研究兔子种群的增长时偶然发现了一系列数字，黄金比例的故事发生了有趣的转折。该序列始于1、1、2、3、5、8、13，现在被称为斐波那契序列。如果你在这个序列中添加两个连续的数字，你会得到下一个。

但是......说连续数字的比率（除以）呢？

事实证明，连续斐波那契数的比率收敛到φ。那就是，

黄金比例和自然之间的这种联系存在于许多自然设计中，从鹦鹉螺壳和向日葵到数十亿光年外的螺旋星系。

阿佩里常数：ζ（3）

Apéry的常数大约等于1.20206，这个常数的故事是一个关于惊喜、数学独创性以及分析和数论相结合的故事。

故事真正始于18世纪，莱昂哈德·欧拉再次开始，他研究了一种被称为泽塔函数的特殊函数，用ζ（s）表示。zeta函数被定义为

像往常一样，这三个点意味着像这样持续到无穷大。

欧拉发现了这个函数的迷人性质，包括zeta函数和素数分布之间的惊人联系。

1734年，年轻的欧拉成为明星，他利用他关于弦函数的其他一些发现，以最出色的方式证明了ζ(2) = π²/6。

这对许多数学家来说是一个巨大的惊喜。π在那里做什么？为什么它是方形的？

然后，欧拉继续前进，找到了一个在偶数正整数下计算zeta函数的通用公式。

然而，没有人能找到zeta奇数值的任何闭合形式公式。这很快就成为一种分析的圣杯

Apéry不变的故事在20世纪发生了戏剧性的转变，当时Roger Apéry做出了惊人的发现。1978年，阿佩里证明了ζ（3）是一个无理数。这是一个实数，不能写成两个整数的分数。

这个结果，现在被称为阿佩里定理，是出乎意料和开创性的，因为以前没有为任何其他奇泽塔值建立过类似的结果。此外，我们对这个数字一无所知，所以这就像在爬行之前学会以光速飞行一样！

这是巨大的，因为通常很难证明一个数字是非理性的。事实上，我们不知道有那么多非理性的数字或数字家族。尽管有比理性更多的非理性。当然，两者都有无限多，但数学家有一些工具来衡量哪些无穷大于其他无限。

是的，有不同大小的无限！

我们对这个数字了解不多，我们对其他奇数ζ（2n+1）也不太了解，但最大的宝藏将是证明欧拉精神中ζ（3）的闭合形式公式。

欧拉常数：γ

这个数字有时被称为Euler-Mascheroni常数或只是Euler常数，大约等于0.57721，在许多数学家的心中占有特殊地位。

欧拉常数的故事始于18世纪的莱昂哈德·欧拉，他在探索谐波级数的性质时首次遇到了这个数字。谐波级数是自然数倒数之和：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋅⋅。

当时知道这个系列发散到无穷大，但欧拉想知道它的发散速度有多快。事实证明——没那么快。事实上，大约和自然对数一样快。

在回忆起这一点时，这在某种意义上是微不足道的

欧拉问的问题是

“和声级数和极限的对数有多接近？”

特别是，欧拉注意到，级数的前n项之和与自然对数ln（n）之间的差异接近一个常数值，即γ。那是

总是好奇的欧拉更深入地研究了这个神秘的常数，并将γ的值计算到令人印象深刻的16位小数，并发现它出现在其他几个数学上下文中。

虽然欧拉常数不像π和e那样广为人知或广泛使用，但它也是出现在许多不同数学地方的通用常数之一。

随着几个世纪的流逝，数学家们继续探索欧拉常数的性质和联系。他们发现γ出现在数论、复分析和渐近展开中，暗示了这些数学领域之间存在深刻的潜在关系。这个节目的大明星之一是一个特殊函数，称为γ函数，表示为Γ(z)。

这个常数对我们来说是神秘的原因之一是，我们实际上对它了解不多。我们甚至不知道它是否是非理性的，或者它是否可以写成两个整数的分数。太尴尬了！

如果你能证明γ是非理性的（它可能是）或超验的，那么你的名字将永远不会被忘记。

虚构单位：i

这个被定义为-1的平方根的神奇数字的故事是一个关于创新的故事，以及对数学思想的大胆探索曾经被认为是被禁止的。

我们的故事始于16世纪，欧洲文艺复兴时期，当时数学家们试图找到多项式方程的解。一些方程导致了负数的神秘平方根，这个概念让数学家感到困惑，最初被认为不可能或毫无意义。实际上是在非法的边界上。

在16世纪初，一些意大利数学家之间存在竞争，导致他们做任何事情来“赢得”数学决斗，包括使用这些“想象”数字作弊。

是的，他们实际上是以数学为武器进行决斗。

后来，这些数字被更认真地对待，因为它们得到了几何解释和更多的应用。

特别是，Leonhard Euler和法国数学家Abraham de Moivre在18世纪进一步发展了虚数单位和复数的概念。回想一下，复数只是a + bi形式上的一个数字，其中a和b是实数。

De Moivre提出了他的开创性定理，该定理将复数与三角学联系起来，而欧拉引入了-1的平方根符号i，并推导出了他著名的公式（在关于e的一节中提到）。

接受i作为有效的数学常数为复数的发展铺平了道路。

在接下来的几个世纪里，我继续揭示它的秘密，证明在数学的各个分支中都是不可或缺的，包括复数论、数论和微分方程。

它也成为工程中的重要工具，允许电气工程师以无与伦比的精度建模和分析交流电电路，在量子力学中，我在理解支配宇宙中非常小事物的方程方面发挥着重要作用。

如果你问我，关于复数非常有趣的事情之一是，我们需要它们来理解许多真正的问题。有一些真正的问题，如果没有复数，我们根本无法解决。我们甚至需要它们，以便通过复函数理论来理解我们的素数。就好像我们得到的比我们预想的要多。